В алгебраической геометрии играют важную роль локальные неравенства, связывающие локальную интегрируемость дробных степеней аналитических функций с различными типами кратностей. Геометрически такие неравенства означают связь между особенностями дивизоров на многообразии и кратностями этих дивизоров. Например, из одного такого неравенства (неравенства Корти) несложно следует знаменитая теорема Исковских-Манина о нерациональности любой неособой трехмерной гиперповерхности степени четыре.
Недавно, моя аспирантка (Димитра Коста) неявно доказала новое локальное неравенство в размерности два (для кривых на поверхности). С помощью этого неравенства Димитра доказала существование орбифолндых метрик Кэлера-Эйнштейна на особых поверхностях дель Пеццо степени один, которые имеют простейшие фактор-особенности. К сожалению полученное локальное неравенство выглядит не очень репрезентабельно, а его доказательство не очень геометрично.
Я сильно обобщил неравенство Димитры и отметил что оно естественным образом обобщается на орбифолды (Димитра применяла свое неравенство только на минимальном разрешении), с естественной заменой кратностей дивизоров на соответствующие орбифолдные кратности. Полученное новое локальное неравенство можно применить, например, для доказательства существования орбифолндых метрик Кэлера-Эйнштейна на многих поверхностях дель Пеццо, являющихся квазигладкими взвешенными гиперповерхностями, которые изучались ранее мной, Шрамовым и Парком. Новых результатов это не дает, но многие доказательства, полученные нами ранее, сильно (даже очень сильно) упростились.
Я ничего не понял :) Наверное, "не очень геометрично" означает то же самое, что и "немножко текст по-дебильному написан"? (выражение взято отсюда)